Question

16．已知直線y=x+2交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）于A、B兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的離心率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)M為C上區(qū)別于A、B的任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），λ²+μ²=1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線方程代入橢圓方程，利用判別式大于0，可得a的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用M，A，B在橢圓上，結(jié)合韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，可得a的方程，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）將直線y=x+2代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，可得
（1+a²）x²+4a²x+3a²=0，
由△=16a⁴-4（1+a²）（3a²）＞0，
可得a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$（舍去），
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，可得
x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以有（λx₁+μx₂）²+a²（λy₁+μy₂）²=a²，
整理可得：λ²（x₁²+a²y₁²）+μ²（x₂²+a²y₂²）+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．
即為（λ²+μ²）a²+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．
由λ²+μ²=1，可得x₁x₂+a²y₁y₂=0，
又x₁+x₂=-$\frac{4{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，
可得x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+2）（x₂+2）=0，
即有（1+a²）x₁x₂+2a²（x₁+x₂）+4a²=0，
可得（1+a²）•$\frac{3{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+2a²（-$\frac{4{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$）+4a²=0，
解得a=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．