Question

（2005•天津）如圖，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，則異面直線PB與AC所成的角的正切值等于

2

．

Answer 1

分析：先過B作BD∥AC，且BD=AC得到下底面為矩形，把問題轉(zhuǎn)化為求∠PBD；然后通過PA⊥DB，DB⊥AD證得DB⊥平面PAD，進(jìn)而求出BD，PA；在RT△PDB中，求出∠PBD的正切值即可．

解答：解：過B作BD∥AC，且BD=AC；
所以ADBC為矩形
且∠PBD（或其補(bǔ)角）即為所求．
因?yàn)镻A=AC=BC=a
∴AD=a；BD=a
∵PA⊥平面ABC
∴PD=

PA2+AD 2

=

2

a；
又因?yàn)镻A⊥DB，DB⊥AD⇒DB⊥平面PAD⇒BD⊥PD．
在RT△PDB中，tan∠PBD=

2 a

a

=

2

．
即異面直線PB與AC所成的角的正切值等于

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評：本題主要考察異面直線及其所成的角．解決本題的關(guān)鍵在于通過過B作BD∥AC，把問題轉(zhuǎn)化為求∠PBD．