Question

（2012•泰州二模）如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一質(zhì)點(diǎn)從AB邊上的點(diǎn)P₀出發(fā)，沿與AB的夾角為θ的方向射到邊BC上點(diǎn)P₁后，依次反射（入射角與反射角相等）到邊CD，DA和AB上的點(diǎn)P₂，P₃，P₄處．
（1）若點(diǎn)P₄與P₀重合，求tanθ的值；
（2）設(shè)tanθ=t，若P₄落在A，P₀兩點(diǎn)之間，且AP₀=2．將五邊形P₀P₁P₂P₃P₄的面積S表示為t的函數(shù)，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P₀B=m（0＜m＜3），給出P₁B、P₁C關(guān)于m和tanθ的式子，利用解直角三角形分別算出P₂C、P₂D、P₃D、P₃A，從而可得AP₄=

P3A

tanθ

=

4

tanθ

-3-m，根據(jù)點(diǎn)P₄與P₀重合得AP₄+P₀B=3，化成關(guān)于tanθ的式子，可得tanθ的值；
（2）當(dāng)AP₀=2即m=1，結(jié)合（I）得AP₄=

4

t

-4．由P₄落在A，P₀兩點(diǎn)之間解得0＜AP₄＜2，從而tanθ=t∈（

2

3

，1）．由五邊形面積S=S_ABCD-S△BP 0P1- S△CP 1P2- S△DP 2P3- S△AP 3P4，將S化成關(guān)于t的函數(shù)S=32-（17t+

12

t

），再利用基本不等式求最值可得當(dāng)t=

12 17

時(shí)，S的最大值為32-4

51

．

解答：解：（1）設(shè)P₀B=m（0＜m＜3），可得
P₁B=mtanθ，P₁C=2-mtanθ，
P₂C=

P1C

tanθ

=

2

tanθ

-m，P₂D=3+m-

2

tanθ

∴P₃D=P₂D•tanθ=（3+m）tanθ-2，P₃A=4-（3+m）tanθ
可得AP₄=

P3A

tanθ

=

4

tanθ

-3-m
∵點(diǎn)P₄與P₀重合，∴AP₄+P₀B=3，
即

4

tanθ

-3-m+m=3，可得

4

tanθ

=6，解之得tanθ=

2

3

；
（2）當(dāng)AP₀=2即m=1，由（I）可得AP₄=

4

tanθ

-4
∵P₄落在A，P₀兩點(diǎn)之間，可得0＜AP₄＜2，即tanθ=t∈（

2

3

，1）
∴S=S_ABCD-S△BP 0P1- S△CP 1P2- S△DP 2P3- S△AP 3P4
=6-

1

2

t-

1

2

（2-t）（

2

t

-1）-

1

2

（4-

2

t

）（4t-2）-

1

2

（4-4t）（

4

t

-4）
=32-17t-

12

t

=32-（17t+

12

t

）≤32-2

17t• 12 t

=32-4

51

由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)t=

12 17

時(shí)，S的最大值為32-4

51

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)五邊形面積的最大值．著重考查了解直角三角形、三角形的面積公式和利用基本不等式求函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．