若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若2x-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
分析:(1)若2x-1比3接近0,則有|2x-1-0|<|3-0|,即|2x-1|<3,解絕對值不等式求出x的取值范圍.
(2)由基本不等式可得a2b+ab2 2ab
ab
a3+b3>2ab
ab
,用比較法證明|a2b+ab2 -2ab
ab
|<|a3+b3-2ab
ab
|,可得a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
解答:(1)解:若2x-1比3接近0,則有|2x-1-0|<|3-0|,
∴|2x-1|<3,即-3<2x-1<3,
解得-1<x<2,
故x的取值范圍為 (-1,2).
(2)證明:對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,a+b>2
ab
,有a2b+ab2 2ab
ab
,a3+b3>2
a3b3
=2ab
ab
,即a3+b3>2ab
ab

又因為|a2b+ab2 -2ab
ab
|-|a3+b3-2ab
ab
|=ab(a+b)-2ab
ab
-(a3+b3)+2ab
ab
=ab(a+b)-(a+b)(a2+b2-ab)=-(a+b)(a-b)2<0,
所以,|a2b+ab2 -2ab
ab
|<-|a3+b3-2ab
ab
|,即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
點評:本題主要考查絕對值不等式的解法,用比較法證明不等式,基本不等式的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結論不要求證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•煙臺一模)若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|,則稱x比y遠離m.若x2-1比1遠離0,則x的取值范圍是
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若實數(shù)x,y,m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y更接近m.
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(2)a>0時,若x2+a比(a+1)x更接近0,求x的取值范圍.

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