若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
分析：（1）若2x-1比3接近0，則有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解絕對值不等式求出x的取值范圍．
（2）由基本不等式可得a2b+ab2 ＞2ab
ab
，a3+b3＞2ab
ab
，用比較法證明|a2b+ab2 -2ab
ab
|＜|a3+b3-2ab
ab
|，可得a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
解答：（1）解：若2x-1比3接近0，則有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范圍為 （-1，2）．
（2）證明：對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，a+b＞2
ab
，有a2b+ab2 ＞2ab
ab
，a3+b3＞2
a3b3
=2ab
ab
，即a3+b3＞2ab
ab
．
又因為|a2b+ab2 -2ab
ab
|-|a3+b3-2ab
ab
|=ab（a+b）-2ab
ab
-（a3+b3）+2ab
ab
=ab（a+b）-（a+b）（a2+b2-ab）=-（a+b）（a-b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 -2ab
ab
|＜-|a3+b3-2ab
ab
|，即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用比較法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）①對任意x＞0，證明：ln（1+x）比x靠近0；②已知數(shù)列{an}的通項公式為an=1+21-n，證明：a1a2a3…an＜2e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．若x2-1比1遠離0，則x的取值范圍是
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y更接近m．
（1）若x2比4更接近1，求x的取值范圍；
（2）a＞0時，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范圍．

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