Question

設(shè)a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，采用比較系數(shù)法，可得（x+a）²=（x-a）²對(duì)任意的x∈R成立，故可得a=0．
（2）分x≤a與x＞a兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以分析，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x=a處取得最小值，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x=-處取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x=處取得最小值．由此即可得到本題的答案．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴對(duì)任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，對(duì)任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）²=（x-a）²對(duì)任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①當(dāng)x≤a時(shí)，．
若，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1．
若，則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為．
②當(dāng)x＞a時(shí)，．
若，則函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為．
若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上所述，可得
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a²+1；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查偶函數(shù)的概念，考查二次函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)算求解能力、分類討論思想等知識(shí)，屬于中檔題．