Question

定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

⊙

b

=mq-np，則下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．若

  a

  與

  b

  共線，則

  a

  ⊙

  b

  =0．
• B．

  a

  ⊙

  b

  =

  b

  ⊙

  a

  ．
• C．對(duì)任意的λ∈R，有(λ

  a

  )⊙

  b

  =λ（

  a

  ⊙

  b

  ）．
• D．(

  a

  ⊙

  b

  )2+(

  a

  ?

  b

  )2=|

  a

  |2|

  b

  |2．

Answer 1

分析：根據(jù)兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示，可得A項(xiàng)正確；根據(jù)運(yùn)算“⊙”的含義加以驗(yàn)證，可得B項(xiàng)不正確；根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則與運(yùn)算“⊙”的含義加以證明，可得C項(xiàng)正確；根據(jù)向量數(shù)量積的公式、運(yùn)算“⊙”的含義與向量模的公式加以驗(yàn)證，可得D項(xiàng)正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對(duì)于A，若

a

與

b

共線，則mq-np=0．由此可得

a

⊙

b

=mq-np=0，所以A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，因?yàn)?span id="fanmgiz" class="MathJye">

a

⊙

b

=mq-np，而

b

⊙

a

=np-mq，所以

a

⊙

b

≠

b

⊙

a

，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)楫?dāng)λ∈R時(shí)，(λ

a

)=（λm，λn），

b

=(p，q)，所以(λ

a

)⊙

b

=λmq-λnp．
又有λ（

a

⊙

b

）=λ（mq-np）=λmq-λnp，因此可得(λ

a

)⊙

b

=λ（

a

⊙

b

），故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?span id="vzyevnl" class="MathJye">(

a

⊙

b

)2=（mq-np）²，(

a

•

b

)2=（mp+nq）²，
所以(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp+nq）²
=m²q²+m²p²+n²q²+n²p²=m²（p²+q²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²），
又有|

a

|2|

b

|2=（m²+n²）（p²+q²），因此可得(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2成立，故D正確．
綜上所述，只有B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出新定義，判斷幾個(gè)等式正確與否．著重考查了平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量模的公式、向量共線的坐標(biāo)表示等知識(shí)，屬于中檔題．