Question

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報(bào)：臺風(fēng)中心位于輪船正西80km處，受影響的范圍是半徑長為r（r＞0）km的圓形區(qū)域．輪船的航行方向?yàn)槲髌��?5°且不改變航線，假設(shè)臺風(fēng)中心不移動． 如圖所示，試問：
（1）r在什么范圍內(nèi)，輪船在航行途中不會受到臺風(fēng)的影響？
（2）當(dāng)r=60km時(shí)，輪船在航行途中受到影響的航程是多少km？

Answer 1

分析：首先建立以臺風(fēng)中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
（1）由輪船在直線l：x+y-80=0上移動，則得到原點(diǎn)到l的距離d=40

2

．根據(jù)條件來判斷是否受臺風(fēng)影響．
（2）根據(jù)60＞40

2

，得到會受到臺風(fēng)影響的結(jié)論，其航程由弦長一半的平方等于半徑的平方減去圓心到直線的距離的平方求解．

解答：解：如圖，以臺風(fēng)中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．
（1）輪船在直線l：x+y-80=0上移動，
原點(diǎn)到l的距離d=40

2

．（3分）
∴0＜r＜40

2

時(shí)，輪船在途中不會受到臺風(fēng)影響．（6分）
（2）60＞40

2

，會受到臺風(fēng)影響．
航程為22

602-(40 2 )2

=40km（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，本題是一道應(yīng)用題，要建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為已知的問題解決．