Question

設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)f（x）=x-（lnx）²+2alnx-1．
（1）若f（x）在x=1處的切線為3ax-y+b=0，求a、b的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求得f′（1）=1+2a=3a，從而可求得a的值，繼而可求得b的值；
（2）依題意，可求得f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0），通過(guò)導(dǎo)數(shù)法對(duì)f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0）的探究，可求得f′（x）_min=1-

2

e2

＞0，從而可證結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=x-（lnx）²+2alnx-1，
∴f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2a

x

，
∵f（x）在x=1處的切線為3ax-y+b=0，
∴f′（1）=1+2a=3a，
∴a=1；
又a=1時(shí)，f（1）=0，即（1，0）在切線3x-y+b=0上，
∴b=-3，
∴f（x）=f（x）=x-（lnx）²+2lnx-1．
（2）∵f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

（x＞0），
∴f″（x）=-2（

1-lnx

x2

）-

2

x2

=

4

x2

+

2lnx

x2

，
令f″（x）=0得：x=e²，
當(dāng)0＜x＜e²時(shí)，f″（x）＜0，f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

在（0，e²）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞e²時(shí)，f″（x）＞0，f′（x）=1-2lnx•

1

x

+

2

x

在（e²，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=e²時(shí)，f′（x）取得最小值，即f′（x）_min=1-

4

e2

+

2

e2

=1-

2

e2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出對(duì)二階導(dǎo)數(shù)的研究，屬于難題．