Question

已知拋物線(xiàn)y²=4px（p＞0），O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：法一：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，故可設(shè)A（

y 2 1

4p

，y₁）、B（

y22

4p

，y₂）．OA⊥OB可得A、B的縱坐標(biāo)之積、橫坐標(biāo)之積均為定值，由OM⊥AB可知OM和AB斜率之積為-1，且M點(diǎn)在直線(xiàn)AB上，求出M點(diǎn)的軌跡方程；
法二：直接設(shè)出直線(xiàn)AB的方程：y=kx+b，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用維達(dá)定理及條件OA⊥OB可推出b與k的聯(lián)系，再由OM⊥AB得k=-

x

y

代入直線(xiàn)方程即可．

解答：解：設(shè)M（x₀，y₀），則k_OM=

y0

x0

，k_AB=-

x0

y0

，
直線(xiàn)AB方程是y=-

x0

y0

（x-x₀）+y₀．
由y²=4px可得x=

y2

4p

，將其代入上式，整理，得
x₀y²-（4py₀）y-4py₀²-4px₀²=0．①
此方程的兩根y₁、y₂分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴A（

y 2 1

4p

，y₁）、B（

y22

4p

，y₂）．
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1．∴

4p

y1

•

4p

y2

=-1．∴y₁y₂=-16p²．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由①可得
y₁•y₂=

-4p(x02+y02)

x0

，∴

-4p(x02+y02)

x0

=16p²．
化簡(jiǎn)，得x₀²+y₀²-4px₀=0，
即x²+y²-4px=0（除去原點(diǎn)）為所求．
∴點(diǎn)M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．
法二：設(shè)M（x，y），直線(xiàn)AB方程為y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-

x

y

．
由y²=4px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-4p）+b²=0．
所以x₁x₂=

b2

k2

．消去x，得ky²-4py+4pb=0．所以y₁y₂=

4pb

k

．由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以

4pk

k

=-

b2

k2

，b=-4kp．
故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-

x

y

代入，得
x²+y²-4px=0（x≠0）．
∴點(diǎn)M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法：參數(shù)法，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量較大，很好的考查了推理判斷能力和運(yùn)算求解能力．