Question

設(shè){a_n}（n∈N^*）為等差數(shù)列，則使|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010成立的數(shù)列{a_n}的項數(shù)n的最大值是

50

．

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010，可得數(shù)列{a_n}中 的有正有負，不妨設(shè)

ak+1＞0 ak＜0

，根據(jù)題意可得d＞3，根據(jù)|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=2010，去絕對值求和，即可求得結(jié)果．

解答：解：{a_n}（n∈N^*）為等差數(shù)列，因為|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|，
∴{a_n}中的項一定滿足

an＞0 an-1＜0

或

an＜0 an-1＞0

，
且項數(shù)n為偶數(shù)，設(shè)n=2k，k∈N^*，等差數(shù)列的公差為d，首項為a₁，不妨設(shè)

ak+1＞0 ak＜0

，
則a₁＜0，d＞0，且a_k+3＜0，由

ak+1＞0 ak+3＜0

可得d＞3，
∴|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-…-a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_2k=-2（a₁+a₂+…+a_k）+（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_2k）
=-2[ka₁+

k(k+1)

2

d]+2ka₁+

2k(2k+1)

2

d=k²d=2010，
∵d＞3，
∴k²d=2010＞3k²，解得k²＜670，而k∈N^*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a_n+2|=|a₁+3|+|a₂+3|+…+|a_n+3|=2010成立的數(shù)列{a_n}的項數(shù)n的最大值是50．
故答案為：50．

點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)題意求出數(shù)列的項的特點和公差的范圍是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．