Question

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件得有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①，②.
（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；
（2）若一個(gè)等差數(shù)列既為階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為.
（）求證：；
（）若存在，使，試問(wèn)數(shù)列是否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）（）證明見(jiàn)解析；（）不能，理由見(jiàn)解析.

試題分析：
（1）由階“期待數(shù)列”定義，當(dāng)，結(jié)合已知條件①求得等比數(shù)列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；
（2）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合①②求出公差，再由前項(xiàng)和為求出首項(xiàng)，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（3）（）由階“期待數(shù)列”前項(xiàng)中所有的和為0，所有項(xiàng)的絕對(duì)值之和為1，求得所有非負(fù)項(xiàng)的和為，所有負(fù)項(xiàng)的和為，從而得到答案；
（）借助于（）中結(jié)論知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，再由，得到，從而說(shuō)明與不能同時(shí)成立.
(1) 若，則由①
由，所以，得，
由②得或,滿足題意.
若，由①得, ，得，不可能.
綜上所述.                
(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051208701728.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051208748436.png" style="vertical-align:middle;" />，所以由，得. 
由題中的①、②得
,   ，
兩式相減得, 即. 又,得.
所以.
(3) 記中非負(fù)項(xiàng)和為,負(fù)項(xiàng)和為.
則, 得.
（） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051209044885.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.    
（） 若存在，使，由前面的證明過(guò)程知：
，
且.
記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若為階“期待數(shù)列”，
則由()知, . 所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051207906571.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以.
所以,.
又, 則.
所以.
所以與不能同時(shí)成立.
所以對(duì)于有窮數(shù)列,若存在，使，
則數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.