Question

試求棱長(zhǎng)為4a的正八面體二面角的大小及其兩條異面棱間的距離．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為4a，以中心O為原點(diǎn)，對(duì)角線DB、AC、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接PE、QE、OE，則∠PEQ=2∠PEO即為所求二面角的平面角；設(shè)n=（x，y，z）是AB與PC的公垂線的一個(gè)方向向量，則有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影長(zhǎng)d==即為所求．
解答：解：如圖，設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為4a，以中心O為原點(diǎn)，
對(duì)角線DB、AC、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、
P（0，0，2a），設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接PE、QE、OE，
則∠PEQ=2∠PEO即為所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，
∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan．
設(shè)n=（x，y，z）是AB與PC的公垂線的一個(gè)方向向量，
則有n•=x+y=0，n•=y-z=0，解得n=（-1，1，1），
所以向量=（-2a，2a，0）在n上的射影長(zhǎng)d==即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正八面體、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．