Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出符合條件的實數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）•f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）對任意實數(shù)x恒成立，即|-x-a|=|x-a|任意實數(shù)x成立，去絕對值然后比較系數(shù)，可得a=0；
（2）分三種情況加以討論：當(dāng)a＞0時，將方程f（x）=g（x）兩邊平方，得方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，通過討論h（x）圖象的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)，可得0＜a＜-1；當(dāng)a＜0時，用同樣的方法得到-1＜a＜0；而當(dāng)a=0時代入函數(shù)表達式，顯然不合題意，舍去．最后綜合實數(shù)a的取值范圍；
（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x-a|，根據(jù)實數(shù)a與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，分4種情況加以討論：
①當(dāng)0＜a≤1時，則F（x）=a（x²-ax），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)增的性質(zhì)，可得y=F（x）的最大值為F（2）=4a-2a²；
②當(dāng)1＜a≤2時，化成兩個二次表達式的分段函數(shù)表達式，其對稱軸為x=

a

2

∈(

1

2

，1]，得到所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，最大值決定于F（1）與F（2）大小關(guān)系．因此再討論：當(dāng)1＜a＜

5

3

時，y=F（x）的最大值為F（2）=4a-2a²；當(dāng)

5

3

≤a≤2時，y=F（x）的最大值為F（1）=a²-a；
③當(dāng)2＜a≤4時，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax），圖象開口向下，對稱軸x=

a

2

∈(1，2]，恰好在對稱軸處取得最大值：F(

a

2

)=

a3

4

；
④當(dāng)a＞4時，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax），圖象開口向下，對稱軸x=

a

2

∈(2，+∞)，在區(qū)間[1，2]上函數(shù)是增函數(shù)，故最大值為F（2）=2a²-4a．
最后綜止所述，可得函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值的結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-a|為偶函數(shù)，
∴對任意的實數(shù)x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）當(dāng)a＞0時，|x-a|-ax=0有兩解，
等價于方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，
即（a²-1）x²+2ax-a²=0在（0，+∞）上有兩解，…（6分）
令h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，
因為h（0）=-a²＜0，所以

a2-1＜0 a 1-a2 ＞0 △=4a2+4a2(a2-1)＞0

，故0＜a＜1；…（8分）
同理，當(dāng)a＜0時，得到-1＜a＜0；
當(dāng)a=0時，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．
綜上可知實數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
（3）令F（x）=f（x）•g（x）
①當(dāng)0＜a≤1時，則F（x）=a（x²-ax），
對稱軸x=

a

2

∈(0，

1

2

]，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，
所以此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²．
②當(dāng)1＜a≤2時，F(x)=

-a(x2-ax)，1＜x≤a a(x2-ax)，a＜x≤2

，對稱軸x=

a

2

∈(

1

2

，1]，
所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a²-a，F(xiàn)（2）=4a-2a²，
1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜

5

3

，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²；
2）若F（1）≥F（2），即

5

3

≤a≤2，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為a²-a．
③當(dāng)2＜a≤4時，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax）對稱軸x=

a

2

∈(1，2]，
此時F(x)max=F(

a

2

)=

a3

4

，
④當(dāng)a＞4時，對稱軸x=

a

2

∈(2，+∞)，此時F(x)max=F(2)=2a2-4a．
綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值[F(x)]max=

4a-2a2，0＜a＜ 5 3 a2-a， 5 3 ≤a≤2 a3 4 ，2＜a≤4 2a2-4a，a＞4.

…（16分）

點評：本題借助于含有字母參數(shù)的一次函數(shù)和含有絕對值的函數(shù)，通過討論它們的奇偶性和單調(diào)性，以及討論含有參數(shù)的方程根的個數(shù)，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性的奇偶性、函數(shù)的零點和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，屬于難題．請同學(xué)們注意分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決本題中所起的作用．