Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意xÎR，f(x+T)=Tf(x)成立．

（1）函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（a>0，且a¹1）的圖像與y=x的圖像有公共點(diǎn)，證明：f(x)=axÎM；

（3）若函數(shù)f(x)=sinkxÎM，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：對于非零常數(shù)T，f(x+T)=x+T，Tf(x)=Tx．因?yàn)閷θ我?i style='mso-bidi-font-style: normal'>xÎR，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=xÎM． （2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax(a>0且a¹1)的圖像與函數(shù)y=x的圖像有公共點(diǎn)， 所以方程組：有解，消去y，得ax=x， 顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T． 于是對于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT×ax=T×ax=Tf(x)故f(x)=axÎM． （3）解：當(dāng)k=0時，f(x)=0，顯然f(x)=0ÎM．當(dāng)k¹0時，因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style: normal'>f(x)=sinkxÎM，所為存在非零常數(shù)T，對任意xÎR，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx．因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style: normal'>k¹0，且xÎR，kx+kTÎR，于是sinkxÎ[-1，1]，sin(kx+kT)Î[-1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx．成立． 只有T=±1，當(dāng)T=1時，sin(kx+k)=sinkx成立，則k=2mp，mÎZ．