Question

在滿足a²+b²≤34的條件中隨機選一對（a，b），使函數(shù)f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)的概率為（　�。�

• A．

  21

  136π

• B．

  1

  34π

• C．

  2

  17π

• D．

  15

  68π

Answer 1

分析：求函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2ax-

b

x

+1，要使函數(shù)在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)，則說明f'（x）=0的根在區(qū)間(

1

2

，1)，即f′(1)f′(

1

2

)＜0，求出滿足條件的a，b范圍，為平面區(qū)域，然后利用幾何概型求概率．

解答：解：滿足a²+b²≤34的條件中的點（a，b），位于半徑為

34

的圓內(nèi)．
函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2ax-

b

x

+1，要使函數(shù)在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)，
則說明f'（x）=0的根在區(qū)間(

1

2

，1)，即f′(1)f′(

1

2

)＜0，所以（2a-b+1）（a-2b+1）＜0，
即

2a-b+1＞0 a-2b+1＜0

或

2a-b+1＜0 a-2b+1＞0

且a＞0，0＜b≤3，作出不等式組對應(yīng)的可行域如圖陰影部分：令b=3，解的x_B=1，x_F=5，即B（1，3），C（5，3）．同理可知D（00，

1

2

），E（0，1），所以陰影部分的面積為

1

2

×5×(3-

1

2

)-

1

2

×1×(3-1)=

21

4

．圓的面積為π(

34

)2=34π．所以由幾何概型公式可得使函數(shù)f（x）=ax²-blnx+x（a＞0，0＜b≤3）在區(qū)間(

1

2

，1)上不單調(diào)的概率為P=

21 4

34π

=

21

136π

．
故選A．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)之間的關(guān)系，二元一次不等式組與線性規(guī)劃問題，以及幾何概率公式的應(yīng)用，綜合性較強，運算量很大．