Question

11．在△ABC中，AB=1，$BC=\sqrt{3}$，以C為直角頂點(diǎn)向△ABC外作等腰直角三角形ACD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，線段BD的長度最大值為$\sqrt{6}$+1．

Answer 1

分析 設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β，利用余弦定理可得AC²=4-2$\sqrt{3}$cosα，由正弦定理可得：sinβ=$\frac{sinα}{\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}}$，再利用余弦定理可得BD²=3+4-2$\sqrt{3}$cosα-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}$×cos（90^°+β），化簡代入即可得出．

解答 解：設(shè)∠ABC=α，∠ACB=β，則AC²=${1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$-2×$1×\sqrt{3}$cosα=4-2$\sqrt{3}$cosα，
由正弦定理可得：sinβ=$\frac{sinα}{\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}}$，
∴BD²=3+4-2$\sqrt{3}$cosα-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}$×cos（90^°+β）
=7-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$sinα=7+2$\sqrt{6}$sin（α-45^°），∴α=135^°時(shí)，
BD取得的最大值$\sqrt{6}$+1．
故答案為：$\sqrt{6}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、解三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．