Question

已知A（4，0），N（1，0），若點P滿足•=6||．
（1）求點P的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；
（2）求||的取值范圍；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x，y），=（x-4，y），=（1-x，-y），=（-3，0），
∵•=6||，
∴-3（x-4）=6，即3x²+4y²=12．
∴=1．∴P點的軌跡是以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．
（2）N（1，0）為橢圓的右焦點，x=4為右準線，
設P（x₀，y₀），P到右準線的距離為d，d=4-x₀，=e=，|PN|=d=．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
當|PN|=1時，P（2，0）；當|PN|=3時，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
則|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN===-1+．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤．
分析：（1）設出點P（x，y），將•=6||用坐標表示出來整理即得點P的軌跡方程；
（2）利用橢圓的第二定義建立關(guān)于||的等式，將||用坐標表示出來，即將||表示成P的坐標的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求即可．
（3）用余弦定理將∠MPN的余弦值表示成關(guān)于||的函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)求求出角的取值范圍．
點評：本題是遞進式的一個題，此特點是后一問要用上前一問的結(jié)論，環(huán)環(huán)相扣，相當緊湊，本題運算量比較大，符號運算較多．