Question

18、ABCD是矩形，四個頂點在平面α內的射影分別為A′，B′，C′，D′，直線A′B′與C′D′不重合．
（1）求證：A′B′C′D′是平行四邊形；
（2）在怎樣的條件下，A′B′C′D′也是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據射影證明BB′∥平面CC′D′D，再由題意證出AB∥平面CC′D′D，根據面面平行的判定證出平面ABB′A′∥平面CC′D′D，由面面平行的性質證明A′B′∥C′D′，同理B′C′∥A′D′，即證出；
（2）由（1）證出的平行關系和題意知BB′C′C是直角梯形，故設線段的長度，利用勾股定理求出四邊形A′B′C′D′邊的長度，再由它是矩形時求出各個線段的長度關系，再由線面平行和垂直進行證明，即得到滿足題意的條件．

解答：解：（1）證明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′?平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD?平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′內的兩條相交直線
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四邊形．
（2）設AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨設a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′²=a²-（b-c）²，
同樣地，A′B′^'2=m²-（b-c）²A′C′²=m²+n²-（a-c）²，
當A′B′C′D′是矩形時，∠A′B′C′=90°，A′C′²=A′B′²+B′C′²
于是m²+n²-（a-c）²=m²-（a-b）²+n²-（b-c）²，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
當a=b時，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理當b=c時，∴BC∥α，下面再證AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
當AB∥α時，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此當矩形ABCD的一邊平行于平面α或在α內時，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此當矩形ABCD的一邊平行于平面α或在α內時，射影A′B′C′D′是矩形．

點評：本題是一個探究型的題目，需要根據題意去探究符合題意的條件，并且根據線面、面面平行以及垂直的有關定理去證明，綜合性強，難度大，考查了分析問題和解決問題的能力．