Question

在福建省第14屆運(yùn)動(dòng)會(huì)（2010•莆田）開幕式上，主會(huì)場中央有一塊邊長為a米的正方形地面全彩LED顯示屏如圖所示，點(diǎn)E、F分雖為BC、CD邊上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在頂點(diǎn)A處有視角∠EAF設(shè)置為45°的攝像機(jī)，正錄制形如△ECF的移動(dòng)區(qū)域內(nèi)表演的某個(gè)文藝節(jié)目，設(shè)DF=x米，BE=y米．
（Ⅰ）試將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）求證：△ECF周長p為定值；
（Ⅲ）求△ECF面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用∠EAF=45°及和角三角函數(shù)可構(gòu)建x，y之間的關(guān)系，從而得出x，y之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）關(guān)鍵是表達(dá)出△ECF的周長，結(jié)合（Ⅰ）將y=

a(a-x)

a+x

代入化簡可證；
（Ⅲ）首先可以得到S=xy，因此要求面積的最大值，關(guān)鍵是求xy的最大值，利用（Ⅰ），結(jié)合基本不等式可以求出面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)椤螮AF=45°，DF=x米，BE=y米，
所以tan(∠BAE+∠DAF)=

y a + x a

1- xy a2

=1，
所以a（x+y）=a²-xy，所以y=

a(a-x)

a+x

(0＜x＜a)；
（Ⅱ）△ECF的周長p=(a-y)+(a-x)+

(a-y)2+(a-x)2

=2a，
所以△ECF的周長p為定值；
（Ⅲ）S=

1

2

(a-x)(a-y)=xy，
由（Ⅰ）知a（x+y）=a²-xy，得a2-xy≥2a

xy

，解得

xy

≤(

2

-1)a，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=(

2

-1)a時(shí)，

xy

取到最大值(

2

-1)a，所以Smax=(3-2

2

)a2，
所以△ECF面積S的最大值為(3-2

2

)a2平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力；考查應(yīng)用意識(shí)．