Question

13．在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：x²=4y的焦點F是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個頂點．過點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于另一點D，交拋物線E于A、B兩點，線段DF的中點為M，直線OM交橢圓C于P、Q兩點，記直線OM的斜率為k'，滿足$k•k'=-\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記△PDF的面積為S₁，△QAB的面積為S₂，設(shè)${S_1}•{S_2}=λ{k^2}$，求實數(shù)λ的最大值及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出直線l的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，求出D的坐標，利用中點坐標公式求得M的坐標，得到OM的斜率結(jié)合已知求得a值，則橢圓方程可求；
（2）由（1），知點D的坐標為（$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），又F（0，1），可得|DF|．由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，利用弦長公式求得|AB|．求出直線OM的方程為y=-$\frac{1}{4k}x$．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{4k}x}\end{array}\right.$，求得P、Q的坐標，由點到直線的距離公式求得點P到直線kx-y+1=0的距離$1ftz3tx_{1}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$，點Q到直線kx-y+1=0的距$hfth1bh_{2}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$．代入三角形面積公式，整理后利用基本不等式求得實數(shù)λ的最大值及取得最大值時直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0．
解得：${x}_{D}=-\frac{2{a}^{2}k}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{D}=\frac{1-{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴M（$-\frac{{a}^{2}k}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$），則k′=${k}_{OM}=-\frac{1}{{a}^{2}k}$，
由$k•k'=-\frac{1}{4}$，得$k′•k=-\frac{1}{{a}^{2}}=-\frac{1}{4}$．
∴a²=4．
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1），知點D的坐標為（$-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），又F（0，1），
∴|DF|=$\sqrt{（-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1）^{2}}=\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0．
△=16k²+16＞0恒成立．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因此$|AB|=\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（16{k}^{2}+16）}=4（{k}^{2}+1）$．
由題意，直線OM的方程為y=-$\frac{1}{4k}x$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-\frac{1}{4k}x}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16k²=0．
顯然，△=-4（1+4k²）（-16k²）＞0恒成立，且x=$±\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
不妨設(shè)${x}_{P}=\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，則${y}_{P}=-\frac{1}{4k}{x}_{P}=（-\frac{1}{4k}）•\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}=-\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
∴點P的坐標為（$\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，-\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），而點Q的坐標為（$-\frac{4|k|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}，\frac{|k|}{k•\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）．
點P到直線kx-y+1=0的距離$drhf5th_{1}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
點Q到直線kx-y+1=0的距離$ljz1tpl_{2}=\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}•|DF|•vfvzvhx_{1}=\frac{1}{2}•\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}•\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}+k|}{1+4{k}^{2}}$．
${S}_{2}=\frac{1}{2}•|AB|•rzhlbpr_{2}$=$\frac{1}{2}•4（{k}^{2}+1）•\frac{||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}•||k|•\sqrt{1+4{k}^{2}}-k|}{|k|}$．
∴S₁S₂=$\frac{8\sqrt{{k}^{2}+1}|{k}^{2}（1+4{k}^{2}）-{k}^{2}|}{（1+4{k}^{2}）|k|}=\frac{32{k}^{4}\sqrt{{k}^{2}+1}}{（1+4{k}^{2}）|k|}$=$\frac{32{k}^{2}|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$．
∵${S_1}•{S_2}=λ{k^2}$，
∴$λ=\frac{32|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16}{\sqrt{3}}•\frac{2\sqrt{3{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}≤\frac{16}{\sqrt{3}}•\frac{3{k}^{2}+（{k}^{2}+1）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
當且僅當3k²=k²+1，即k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時，等號成立．
∴實數(shù)λ的最大值為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，λ取最大值時的直線方程為$y=±\frac{\sqrt{2}}{2}x+1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓、拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與運算能力，屬壓軸題．