Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}中b₂=4，前n項和為S_n，且4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）證明：．

Answer 1

（I）解：∵a_n=2a_n-1+n-2（n≥2），∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）
∴數(shù)列{a_n+n}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即a_n+n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-n
（II）證明：∵4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）
∴4^S_n-n=2^nb_n，
∴2S_n-2n=nb_n，…①
∴2S_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1，…②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
∴（n-1）b_n+1-nb_n+2=0 …③
∴nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0 …④
④-③得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0
∴b_n+2-2b_n+1+b_n=0
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n
∴{b_n}是等差數(shù)列．
∵b₁=2，b₂=4，∴b_n=2n
∴＜1++…+=1+＜．
分析：（I）根據(jù)a_n=2a_n-1+n-2（n≥2），可得數(shù)列{a_n+n}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）利用4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），再寫一式，兩式相減可得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，同樣再寫一式，兩式相減，可得{b_n}是等差數(shù)列，進而可得b_n=2n，由此可證結(jié)論．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，確定數(shù)列為等差數(shù)列，適當放縮是關(guān)鍵．