Question

規(guī)定

C

mx

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C_X⁰=1．這是組合數(shù)C_n^m（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求C_-15³的值；
（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推廣到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推廣，請(qǐng)寫出推廣的形式并給予證明；若不能請(qǐng)說明理由．
（3）已知組合數(shù)C_n^m是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，C_x^m∈Z．

Answer 1

（1）由題意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

3!

=-C₁₇³=-680   …（4分）
（2）性質(zhì)①C_n^m=C_n^n-m不能推廣，例如x=

2

時(shí)，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無意義；
性質(zhì)②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推廣，它的推廣形式為C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
證明如下：當(dāng)m=1時(shí)，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹；   …（1分）
當(dāng)m≥2時(shí)，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

m

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

m!

=C_x+1^m，（6分）
（3）由題意，x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)
當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)C_x^m∈z成立；
當(dāng)0≤x＜m 時(shí)，

C

mx

=

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

m!

=0∈Z，結(jié)論也成立；
當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)?x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
綜上所述當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，C_x^m∈Z