Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B(－2，0)，C(2，0)，直線AB，AC的斜率乘積為，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l₁的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，試求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由于所求動(dòng)點(diǎn)A滿足直線AB，AC的斜率乘積為，所以直接設(shè)A的坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)整理即得：，注意到△ABC中三個(gè)頂點(diǎn)不能共線，所以需去掉與軸相交的點(diǎn)，（2）要求的取值范圍，首先求出函數(shù)解析式，由題意確定l₁的斜率為k為自變量，因?yàn)镸 為l₁與曲線E的交點(diǎn)，所以列方程組解出點(diǎn)M坐標(biāo)，從而得出弦長(zhǎng)；同理，只需將代k就可得到，因此△DMN的面積S＝，所以＝，這可以看作關(guān)于1＋k²的一個(gè)分式函數(shù)，即，可以利用函數(shù)單調(diào)性求出其取值范圍.
試題解析：解（1）設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則k_AB＝，k_AC＝ 2分
因?yàn)閗_AB×k_AC＝，所以，  即．（或x²＋4y²＝4）.
所以曲線E的方程為．           4分
（2）曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D(0，－1)．
因?yàn)閘₁的斜率存在，所以設(shè)l₁的方程為y＝kx－1， 代入，得
從而 6分
用代k得
所以△DMN的面積S＝ 8分
則＝
因?yàn)閗≠0且，k≠±2，令1＋k²＝t，
則t＞1，且，t≠5，
從而＝
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041505103625.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
所以且，
從而且，，
即∈                 10分.