Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是整數(shù)，滿足a₃=-1，a₇=4，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)的和是

57

．

Answer 1

分析：由題意設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，d為整數(shù)，表示出a₅，a₆，利用a₅，a₆，a₇成等比數(shù)列，求出d，推出n≤6時(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，n≥5時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，則數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)的和可求．

解答：解：設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，d為整數(shù)，
由a₃=-1，得：a₅=a₃+2d=-1+2d，a₆=a₃+3d=-1+3d，
又a₅，a₆，a₇成等比數(shù)列，且a₇=4，
所以（3d-1）²=4（2d-1），解得d=

5

9

或d=1，
因?yàn)閐為整數(shù)，所以d=1．
所以，當(dāng)n≤6時(shí)，a_n=a₃+（n-3）×1=-1+（n-3）=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，
又?jǐn)?shù)列從第5項(xiàng)起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．
則當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=2^n-5，
所以，數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)的和是：
S₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）=

(-3+1)×5

2

+

2(1-25)

1-2

=57．
故答案為57．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)的特征，考查了數(shù)列的分組求和，注意分類(lèi)討論的思想，此題是中檔題．