Question

設(shè)S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，則S的最小值為（　　）

• A．1
• B．-1
• C．-

  3

  4

• D．0

Answer 1

分析：解法一：由S=x²+2xy+2y²+2x+1利用判別式法，我們可將S=x²+2xy+2y²+2x+1的表達(dá)式看成關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而根據(jù)方程對(duì)應(yīng)的△≥0，求出S的取值范圍，進(jìn)而得到S的最小值．
解法二：利用配方法，我們可將S=x²+2xy+2y²+2x+1化為（x+y+1）²+（y-1）²-1的形式，進(jìn)而利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)得到S的最小值．

解答：解法一：
x²+（2y+2）x+（2y²+1-S）=0，
由△=（2y+2）²-4（2y²+1-S）≥0
得S≥y²-2y=（y-1）²-1≥-1．
當(dāng)且僅當(dāng)y=1，x=-2時(shí)，S_min=-1．
故選B．
解法二：
S=x²+2xy+2y²+2x+1=x²+2（y+1）x+（y+1）²+y²-2y=（x+y+1）²+（y-1）²-1≥-1．
當(dāng)且僅當(dāng)y=1，x=-2時(shí)，S_min=-1．選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，是對(duì)函數(shù)值域及最值求法的直接考查，其中（1）中使用的判別式法，關(guān)鍵是根據(jù)△≥0，求出S的取值范圍，而（2）中的配方法，關(guān)鍵是將函數(shù)的解析式化為式子平方與常數(shù)和的形式．