設(shè)橢圓方程為x2+
y2
4
=1，求點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，利用直線方程表示出y1+y2，然后利用
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)求得
OP
的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式，P點(diǎn)軌跡可得．
解答：解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，
①當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
橢圓：4x2+y2-4=0
由直線l：y=kx+1代入橢圓方程得到：
（4+k2）x2+2kx-3=0，
x1+x2=-
2k
4+k2
，y1+y2=
8
4+k2
，
由
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)得：
（x，y）=
1
2
（x1+x2，y1+y2），
即：
x=
x1+x2
2
=-
k
4+k2
y=
y1+y2
2
=
4
4+k2

消去k得：4x2+y2-y=0
當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：4x2+y2-y=0．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
λ+1
+y2=1（λ＞0）的兩焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，且橢圓上存在點(diǎn)P，使
PF1
•
PF2
=0
（1）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）若直線l：x-y+2=0與橢圓C存在一公共點(diǎn)M，使得|MF1|+|MF2|取得最小值，求此最小值及此時(shí)橢圓的方程．
（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為k（k≠0）的直線?，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足
AQ
=
QB
，且使得過(guò)點(diǎn)Q，N（0，-1）兩點(diǎn)的直線NQ滿足
NQ
•
AB
=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A（-1，0），B（1，0），設(shè)M（x，y）為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，
①若
k1
k2
=2，則M點(diǎn)的軌跡為直線x=-3（除去點(diǎn)（-3，0））
②若k1•k2=-2，則M點(diǎn)的軌跡為橢圓x2+
y2
2
=1（除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)）
③若k1•k2=2，則M點(diǎn)的軌跡為雙曲線x2-
y2
2
=1
④若k1+k2=2，則M點(diǎn)的軌跡方程為：y=x-
1
x
（x≠±1）
⑤若k1-k2=2，則M點(diǎn)的軌跡方程為：y=-x2+1（x≠±1）
上述五個(gè)命題中，正確的有
①④⑤
①④⑤
（把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年江蘇省南通市海安縣高考數(shù)學(xué)回歸課本專項(xiàng)檢測(cè)（一）（解析版） 題型：解答題

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

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