Question

定義在實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①f（x）是偶函數(shù)；②對任意非負實數(shù)x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③當(dāng)x＞0時，恒有f(x)＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（3）=2，解關(guān)于a的不等式f（a²-2a-9）≤8．

Answer 1

（1）令x=0，y=1，
則f（1）=2f（0）•f（1），
∵f(1)＞

1

2

，
∴f(0)=

1

2

．…（4分）
（2）∵當(dāng)x＞0時，恒有f(x)＞

1

2

，又f（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f(x)=f(-x)＞

1

2

，
又f(0)=

1

2

，f（x）＞0恒成立．…（6分）
設(shè)0≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f(x2-x1)＞

1

2

，
∴f（x₂）=2f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．…（10分）
（3）令x=y=3，則f（6）=2f²（3）=8，…（12分）
∴f（a²-2a-9）=f（|a²-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
得|a²-2a-9|≤6，…（14分）
即

a2-2a-9≥-6 a2-2a-9≤6

，
解得

a≤-1或a≥3 -3≤a≤5

，
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分