Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心為O，右焦點為F、右頂點為A，右準線與x軸的交點為H，則

|FA|

|OH|

的最大值為

1

4

．

Answer 1

分析：橢圓屬于解析幾何的版塊，常用解析法處理．所以我們要數形互化，把問題中的幾何最值轉化為代數最值，運用解析法，即“算”的辦法解決．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，|FA|與|OH|都可以用橢圓中一些基本的參量表示出來，例如，|FA|即為該橢圓右定點與右焦點間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，而|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF|即為橢圓的半焦距長c，∴|FA|=a-c．當完成這些工作后，我們只要對得到的表達式在其可行域內求最值即可．

解答：解：依題意得，|FA|即為該橢圓右定點與右焦點間的距離，即|FA|=|OA|-|OF|，
又∵|OA|即為橢圓的長半軸長a，|OF|即為橢圓的半焦距長c，
∴|FA|=a-c．
又∵H為橢圓的右準線與x軸的交點，故|OH|即為橢圓中心到右準線的距離，依準線的定義知，|OH|=

a2

c

，則

|FA|

|OH|

=

a-c

a2 c

①
又∵橢圓的離心率e=

c

a

，（0＜e＜1），從而c=ae，代入①，得

|FA|

|OH|

=

a-ae

a2 ae

=e（1-e）=-(e-

1

2

)2+

1

4

（0＜e＜1），
當且僅當e=

1

2

時

|FA|

|OH|

取得最值

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：最值問題是高考的熱點之一．常用的方法有構建函數模型法，基本不等式法等．對于一元表達式，我們采用第一種方法，對于二元的則采用后者．本體看似是二元表達式，但通過e的代換后發(fā)現(xiàn)，其實際是一元二次函數，這就轉化為我們熟悉的函數模型，一切問題也變得簡單起來．