Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，A為左頂點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），由AB⊥BF，得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=ac-b²=0，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，A為左頂點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，
∴A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，b），$\overrightarrow{BF}$=（c，-b），
∵AB⊥BF，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=ac-b²=0，
解得ac=a²-c²，
∴e²+e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或e=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍）．
∴橢圓的離心率為$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．