Question

盒子中裝著標有數(shù)字1、2、3、4、5、6的小球各2個，從盒子中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的5倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：
（1）取出的3個小球上數(shù)字互不相同的概率；
（2）隨機變量ξ的概率分布列和數(shù)學期望；
（3）計分不小于20分的概率．

Answer 1

分析：（1）分析從兩個裝著6個小球的盒子中任取3個小球所有取法總數(shù)，及三個小球有數(shù)字相同的取法數(shù)，進而根據(jù)對立事件概率減法公式，可得答案．
（2）由已知可得變量ξ的值可能為2，3，4，5，6，分別計算其概率，可得隨機變量ξ的概率分布列，代入期望公式可得期望
（3）根據(jù)（2）中分布列，累加ξ的值為4，5，6三種情況的概率和可得答案．

解答：解：（1）從兩個裝著6個小球的盒子中任取3個小球，共有

C

3 12

種不同取法
其中三個小球有數(shù)字相同的事件有

C

1 6

•

C

1 10

種不同情況
記事件A為“三個數(shù)字互不相同”，
則P（A）=1-

C 1 6 C 1 10

C 3 12

=1-

60

220

=

8

11

；              …（4分）
（2）隨機變量ξ的值可能為2，3，4，5，6，
則P（ξ=2）=

C 3 4

C 3 12

=

4

220

P（ξ=3）=

C 1 2 • C 2 4 + C 2 2 • C 1 4

C 3 12

=

16

220

P（ξ=4）=

C 1 2 • C 2 6 + C 2 2 • C 1 6

C 3 12

=

36

220

P（ξ=5）=

C 1 2 • C 2 8 + C 2 2 • C 1 8

C 3 12

=

64

220

P（ξ=6）=

C 1 2 • C 2 10 + C 2 2 • C 1 10

C 3 12

=

100

220

ξ	2	3	4	5	6
P	4 220	16 220	36 220	64 220	100 220

…（8分）
E（ξ）=

1

220

（2×4+3×16+4×36+5×64+6×100）=

56

11

；…（12分）
（3）計分不小于20分的概率P（ξ≥4）=P（ξ=4）+P（ξ=5）+P（ξ=6）=

36

220

+

64

220

+

100

220

=

10

11

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是離散型隨機變量的期望，等可能事件的概率，能利用組合數(shù)公式求出各種情況下基本事件的個數(shù)是解答的關鍵．