Question

要制作一個由同底圓錐和圓柱組成的儲油罐（如圖），設(shè)計要求：圓錐和圓柱的總高度和圓柱底面半徑相等，都為r米．市場上，圓柱側(cè)面用料單價為每平方米a元，圓錐側(cè)面用料單價分別是圓柱側(cè)面用料單價和圓柱底面用料單價的4倍和2倍．設(shè)圓錐母線和底面所成角為θ（弧度），總費用為y（元）．
（1）寫出θ的取值范圍；
（2）將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當θ為何值時，總費用y最�。�

Answer 1

分析：（1）先設(shè)圓錐的高為h₁米，母線長為l米，圓柱的高為h₂米；圓柱的底面用料單價為每平方米2a元，圓錐的側(cè)面用料單價為每平方米4a元，由圓錐和圓柱的總高度和圓柱底面半徑相等，都為r米．則h₁＜r，?tanθ=

h1

r

＜1求得；
（2）圓錐的側(cè)面用料費用為4aπrl，圓柱的側(cè)面費用為2aπrh₂，圓柱的地面費用為2aπr²?y=4aπrl+2aπrh₂+2aπr²?2aπr2[(

2

cosθ

-tanθ)+3]
（3）抽象出f(θ)=

2

cosθ

-tanθ?f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

?當θ=

π

6

時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0得解．

解答：解：圓柱的底面用料單價為每平方米2a元，圓錐的側(cè)面用料單價為每平方米4a元，
設(shè)圓錐的高為h₁米，母線長為l米，圓柱的高為h₂米；
（1）∵圓錐和圓柱的總高度和圓柱底面半徑相等，都為r米．
則h₁＜r，
tanθ=

h1

r

＜1
∴θ∈(0，

π

4

)…（3分）
（2）圓錐的側(cè)面用料費用為4aπrl，圓柱的側(cè)面費用為2aπrh₂，圓柱的地面費用為2aπr²，..（6分）（每個面積公式1分）
則y=4aπrl+2aπrh₂+2aπr²
=2aπr（2l+h₂+r）=2aπr[

2r

cosθ

+（r-h₁）+r]
=2aπr[

2r

cosθ

+（r-rtanθ）+r]=2aπr2[(

2

cosθ

-tanθ)+2]（9分）
（3）設(shè)f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中θ∈(0，

π

4

)…（10分）
則f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

，..（11分）
當θ=

π

6

時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0；
當θ∈(0，

π

6

)時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＜0；
當θ∈(

π

6

，

π

4

)時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＞0；..（13分）
則當θ=

π

6

時，f（θ）取得最小值，..（14分）
則當θ=

π

6

時，費用y最�。�15分）

點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立，定義域和函數(shù)最值的求法．