精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
(1)求證:CM∥平面PAD;
(2)點C到平面PAD的距離.
分析:(1)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,求出∴
DP
、
DA
CM
  的坐標(biāo),求出平面PAD的法向量
n
 的
坐標(biāo),因為
n
CM
=0,故 
n
CM
,又因為 CM不在平面PAD內(nèi),可得CM∥平面PAD. 
 (2)由上面得
BE
⊥平面PAD,故
BE
 是平面PAD的法向量,可得平面PAD的單位法向量
n0
=
BE
|
BE
|
 的坐標(biāo),
由點C到平面PAD的距離為 d=|
n0
CD
|求出點C到平面PAD的距離.
解答:解:以點C為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點,CB為x軸,CD為y軸,CP為z軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
(1)證明:∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD成的角,∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2
3
,PB=4,∴D(0,1,0),B (2
3
,0,0),A(2
3
,4,0),P(0,0,2),
M(
3
2
,0
3
2
 ).∴
DP
=(0,-1,2),
DA
=(2
3
,3,0),
CM
=(
3
2
,0,
3
2
  ). 
設(shè)平面PAD的法向量為
n
=(x,y,1),由
n
DP
=0,且
n
DA
=0 可得 x=-
3
,y=2,
n
=(-
3
,2,1).  又因為
n
CM
=(-
3
,2,1)•(
3
2
,0,
3
2
  )=0,
n
CM
,又因為 CM不在平面PAD內(nèi),∴CM∥平面PAD.
取AP的中點E,則 E(
3
,2,1),
BE
=(-
3
,2,1)因為PB=AB,∴
BE
AP

又因為
BE
DA
=(-
3
,2,1)•(2
3
,3,0)=0,∴
BE
DA
,∴
BE
⊥平面PAD;
∴BE平面PAD,又因為 BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)由上面得
BE
⊥平面PAD,∴
BE
 是平面PAD的法向量,
∴平面PAD的單位法向量為
n0
=
BE
|
BE
|
=
(-3 ,2,1)
2
2
,又因為
CD
=(0,1,0),
∴點C到平面PAD的距離為 d=|
n0
CD
|=|
(-3 ,2,1)
2
2
•(0,1,0)|=
2
2
點評:本題考查用向量證明線面平行和線面垂直,利用向量求點到平面的距離,準(zhǔn)確求出各個點,和有關(guān)向量的坐標(biāo),
是階梯的關(guān)鍵和難點.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,M為PC上一點,且PA∥平面BDM.
(1)求證:M為PC中點;
(2)求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣東)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E為PC的中點.
求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)AC⊥平面PBD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB=2,M為PD上的點,若PD⊥平面MAB
(I)求證:M為PD的中點;
(II)求二面角A-BM-C的大。

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