Question

如圖，四邊形ABCD中，△ABC為正三角形，AD=AB=2，BD=2

3

，AC與BD交于O點(diǎn)．將△ABC沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為θ，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在△ABC內(nèi)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ=

π

3

時(shí)，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理，可證AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用θ=

π

3

，可得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）證明：由題意，O為BD的中點(diǎn)，則AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因?yàn)锳C⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上（即在射線OD上），
所以PO與平面ABCD所成的角θ=∠POD=

π

3

．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸建空間直角坐標(biāo)系．
則A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，-

3

2

，

3

2

)，
因?yàn)锳C⊥面PBD，所以面PBD的法向量

n1

=

OA

=(1，0，0)，
設(shè)面PAB的法向量

n2

=(x，y，z)，又

AB

=(-1，

3

，0)，
由

n2

⊥

AB

，得-x+

3

y=0①，又

PB

=(0，

3 3

2

，-

3

2

)，
由

n2

⊥

PB

，得

3 3

2

y-

3

2

z=0②，
在①②中令y=

3

，可得x=z=3，故

n2

=(3，

3

，3)
所以二面角A-PB-D的余弦值cosθ=

3

1× 9+3+9

=

3

21

=

21

7

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．