Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；     
（2）解不等式f（x）＜f(

1

x+1

)
（3）若f（x）≤2m²-2am+3對(duì)所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用題目給出的等式及函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）在保證不等式本身有意義的前提下，運(yùn)用（1）判明的函數(shù)f（x）的增減性脫掉對(duì)應(yīng)關(guān)系求解不等式；
（3）先求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值，代入不等式后得到新不等式，然后借助于分離變量法求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）取a=x₁，b=-x₂∈[-1，1]，且x₁＞x₂，則x₁-x₂=a+b＞0，
因?yàn)閒（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，則f（a）+f（b）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂），
所以f(x1)-f(x2)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x1-x2)=

f(a)+f(b)

a+b

(a+b)＞0，所以f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）是定義在[-1，1]，且函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，
所以f(x)＜f(

1

x+1

)?

-1≤x≤1 -1≤ 1 x+1 ≤1 x＜ 1 x+1

，解得：0≤x＜

5 -1

2

所以不等式f（x）＜f(

1

x+1

)的解集為[0，

5 -1

2

）
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，
所以在[-1，1]上函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=2，
若f（x）≤2m²-2am+3對(duì)所有的m∈[0，3]恒成立，即2≤2m²-2am+3對(duì)所有的m∈[0，3]恒成立，
也就是2m²-2am+1≥0恒成立，
分離變量得：a≤m+

1

2m

恒成立，
因?yàn)?span id="s2osmgu" class="MathJye">m+

1

2m

≥2

m× 1 2m

=

2

（當(dāng)且僅當(dāng)m=

2

2

時(shí)取等號(hào)）
所以a≤

2

．
所以所求a的范圍是（-∞，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查了運(yùn)用單調(diào)性求解不等式的方法，訓(xùn)練了運(yùn)用分離變量法求解恒成立的問題，同時(shí)訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一個(gè)非常好的綜合題．