Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(x+1)，當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在y=f(x)的圖象上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函數(shù)y=g(x)的圖象上移動(dòng)．
（I）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），點(diǎn)Q也在y=f（x）的圖象上，求t的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），我們可以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（含參數(shù)t），由點(diǎn)Q也在y=f（x）的圖象上，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于t的方程，解方程求出t的值．
（II）由已知中點(diǎn)Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函數(shù)y=g(x)的圖象上，可得

x0=2x+t-1 y0=y

，由點(diǎn)P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，滿足y=f（x）的解析式，代入即可求得函數(shù)y=g（x）的解析式；
（III）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，則方程組

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

無解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

2x

x+1

-x，求出函數(shù)的值域后，即可得到方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

2-t

2

，-1），
∵點(diǎn)Q也在y=f（x）的圖象上，∴-1=log

1

2

（

2-t

2

+1）
∴t=0．
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y）在y=g（x）的圖象上，
則

x= x0-t+1 2 y=y0

?

x0=2x+t-1 y0=y

而點(diǎn)P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上．
∴y₀=log

1

2

（2x+t）即為所求
（Ⅲ）原方程可化為

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

令h（x）=

2x

x+1

-x=-[

2

x+1

+（x+1）]+3
①當(dāng)x＞0時(shí)，

2

x+1

+(x+1)≥2

2

(x=

2

-1時(shí)取等號）∴h（x）≤3-2

2

；
②當(dāng)x＜-1時(shí)，

2

x+1

+(x+1)≤-2

2

(x=-

2

-1時(shí)取等號），∴h（x）≥3+2

2

故方程h（x）=t的解集為?時(shí)，t的取值范圍為（3-2

2

，3+2

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，求對數(shù)函數(shù)的解析式，其中利用坐標(biāo)系，求出函數(shù)y=g（x）的解析式中解答本題的關(guān)鍵．