已知an=An1+An2+An3+…+Ann（n∈N*），當n≥2時，求證：
（1）；
（2）．
【答案】分析：（1）首先整理一般的排列數(shù)，得到兩項之間的關系，從要證明的等式的右邊入手，利用前面整理出來的結(jié)果，代換式子中的量，展開得到結(jié)果，即原等式得證．
（2）根據(jù)第一問得到的結(jié)論，整理要證明的不等式的右邊，利用代換，放縮變換，再裂項，合并同類項，得到要求的結(jié)果不等式得證．
解答：證明：（1）∵，
所以當n≥2時，（An1+An2+…+Ann）=
=1+（An-11+…+An-1n-1）=1+an-1．
∴．
（2）由（1）得，即，
∴…
=（An+11+An+12+…+An+1n+1）
=……
=…=．
∴原不等式成立．
點評：本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的證明，考查放縮法證明不等式，考查裂項求數(shù)列的和，是一個綜合題，是一個中檔題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{bn}的首項為b，公比為a（其中a，b均為正整數(shù)）．
（Ⅰ）若a1=b1，a2=b2，求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a1，a3，an1，an2，…，ank，…（3＜n1＜n2＜…＜nk＜…）成等比數(shù)列，求數(shù)列{nk}的通項公式；
（Ⅲ）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且至少存在三個不同的b值使得等式am+t=bn（t∈N）成立，試求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)(x∈R，x≠
1
a
)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的實數(shù)x有且只有一個．
（1）求f（x）的表達式；
（2）數(shù)列{an}滿足：a1=
2
3
，an+1=f(an)，bn=
an
1-an
(n∈N*)，證明：{bn}為等比數(shù)列．
（3）在（2）的條件下，若cn=
1
bn+(-1)n
(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求證：Sn＜
3
2
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（任選一題）
①在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an
1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an的表達式；
（2）用適當?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．
②是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)對一切正整數(shù)n都成立？
并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)(x∈R，x≠
1
a
)滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的實數(shù)x只有一個．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
，an+1=f（an），bn=
an
1-an
，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•長寧區(qū)一模）設A=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中aik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù)，已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，且a23=8，a34=20．
（1）求a11和aik；
（2）設數(shù)陣第i行的公差為di（i=1，2，…，n），f（n）=d1+d2+…+dn，求f（n）；
（3）設An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1，證明：當n是3的倍數(shù)時，An+n能被21整除．

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