Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)，而且與x軸垂直．又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)(-

3

2

，

6

)，求拋物線和雙曲線的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的點(diǎn)在拋物線上，列式解出拋物線方程為y²=-2x，從而算出雙曲線右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），可得c²=a²+b²=1．再由點(diǎn)(-

3

2

，

6

)在雙曲線上建立關(guān)于a、b的方程，聯(lián)解得到a、b的值，即可得到雙曲線的方程．

解答：解：由題意，設(shè)拋物線方程為y²=-2px（p＞0）
∵拋物線圖象過點(diǎn)(-

3

2

，

6

)，∴6=-2p×(-

3

2

)，解之得p=2．
所以拋物線方程為y²=-4x，準(zhǔn)線方程為x=1．
∵雙曲線的右焦點(diǎn)經(jīng)過拋物線的準(zhǔn)線，∴雙曲線右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），c=1
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(-

3

2

，

6

)，∴

9 4

a2

-

6

b2

=1
結(jié)合c²=a²+b²=1，聯(lián)解得a2=

1

4

，b2=

3

4

或a²=9，b²=-8（舍去）
∴雙曲線方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．
綜上所述，拋物線方程為y²=-4x，雙曲線方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與拋物線交于定點(diǎn)，已知雙曲線的右焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求拋物線與雙曲線的方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．