Question

關于函數f（x）=e 

|x|

x2+1

（x∈R）有下列命題：
①函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱，
②在區(qū)間（0，+∞）上，函數y=f（x）是減函數，
③函數f（x）的最小值是e 

1

2

，
④在區(qū)間（-∞，-1）上，函數f（x）是增函數，
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：易知該函數是偶函數，所以只需先研究當x∈[0，+∞）函數f（x）的性質，然后根據單調性與奇偶性之間的關系轉化即可，對于②③④，都涉及到了函數的單調性，利用導數進行計算和判斷即可．

解答： 解：由已知，函數f（x）=e 

|x|

x2+1

的定義域為R，又因為f（-x）=e

|-x|

(-x)2+1

=e 

|x|

x2+1

=f（x），所以函數f（x）是偶函數，所以①正確；
當x＞0時，f（x）=e

x

x2+1

，所以f′（x）=e

x

x2+1

(

x

x2+1

)′=e

x

x2+1

1-x2

(x2+1)2

，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上是增函數，令f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數，所以②不對；
因為f（x）是偶函數，所以函數f（x）在（0，+∞）上的最大值就是其在定義域上的最大值，由剛才計算可知f（x）_max=f(1)=e

1

2

，所以③不對；
由剛才的計算可知，f（x）在（1，+∞）上是減函數，由偶函數的性質（偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反）可知，在區(qū)間（-∞，-1）上，函數f（x）是增函數，所以④正確．
故答案為：①④

點評：對于奇函數或偶函數，可以先研究其關于原點對稱的一半區(qū)間上的性質，再利用其“對稱性”將得到的性質進行轉化，例如此題考查了偶函數的單調性、最值的性質．