Question

已知圓C₁的方程為，定直線l的方程為．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；
（Ⅱ）直線與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M于相異的兩點P、Q，記為POQ（O為坐標原點）的面積，求的值．

Answer 1

（Ⅰ），即為動圓圓心C的軌跡M的方程；（II）。

解析試題分析：（1）求解點的軌跡方程一般是先設出點的坐標，然后找到點所滿足的關系式，進而得到結論。
（2）在第一問的基礎上，設點P的坐標為，則，結合導數的幾何意義，得到直線PQ的方程，讓那后得到點的坐標，進而表示面積。
解:（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為，動圓半徑為R，
則，且
可得 ．．．．．．．．．．．．．3分
由于圓C₁在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有，
，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．．5分
（II）如圖示，

設點P的坐標為，則，．．．．．．．．6分
，所以直線PQ的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又,．點P在第一象限，，--9分
點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為．--------------10分
聯立得，解得或4，點Q的坐標為．所以---------12分
考點：本題主要考查直線與圓的位置關系以及圓與圓的位置關系的綜合運用。
點評：解決該試題的關鍵是利用線與圓相切得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用兩個圓相互外切，則說明圓心距等于半徑之和得到結論。