Question

已知向量，
（1）求的最大值．
（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）=coscos-sinsin=cos2x=2cos²x-1，
||²=²+2+²=1+2cos2x+1=2+2（2cos²x-1）=4cos²x，，cosx＞0，
||=2cosx．
=cosx-，令t=cosx，則y=t-，在t∈[，1]上是增函數(shù)，當(dāng)t=1時，y取得最大值．
（2）若不等式即為
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，，，1+cos2x＞0，
∴λ≤=．令t=cosx，則g（t）=，g′（t）=--＜0，
∴g（t）在t∈[，1]上是減函數(shù)，當(dāng)t=1時，取得最小值1，所以λ≤1．
分析：（1）利用三角函數(shù)公式、向量的坐標運算得出=cosx-，再令t=cosx，則y=t-，利用單調(diào)性求出最大值即可．
（2）將原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，將參數(shù)λ分離，得出λ≤．同樣地利用換元法求出右邊最小值，λ小于等于最小值即可．
點評：本題考查向量的運算，三角函數(shù)公式的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題，考查換元法、分離參數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值．