Question

已知函數(shù)，R.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存
在，說明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間
為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. （2）存在，范圍為

試題分析：（1）函數(shù)的定義域為，.  
① 當(dāng)時，，∵ ∴，∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為 
② 當(dāng)時，令得，即，.
（ⅰ）當(dāng)，即時，得，故，
∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.                     
（ⅱ）當(dāng)，即時，方程的兩個實根分別為，.
若，則，此時，當(dāng)時，.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，若，則，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時， 
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間
為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）由(1)得當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
∴有極大值，其值為，其中.
∵，即， ∴.
設(shè)函數(shù)，則，
∴在上為增函數(shù)，又，則，
∴.  
即，結(jié)合解得，∴實數(shù)的取值范圍為.
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，突出分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透與應(yīng)用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問題轉(zhuǎn)化為圖象開口向下與X軸有兩個交點，思路巧妙，學(xué)習(xí)中值得借鑒．