Question

函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）的最大值為

1

2

，解關(guān)于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

（1）當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=f（-x）=log_a[2-（-x）]=log_a（2+x）．
當(dāng)x∈[2k-1，2k）（k∈Z）時，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=log_a[2+（x-2k）]．
當(dāng)x∈[2k，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
故當(dāng)x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，f（x）的表達(dá)式為f(x)=

loga[2+(x-2k)]，x∈[2k-1，2k) loga[2-(x-2k)]，x∈[2k，2k+1]

（2）∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，∴f（x）的最大值就是當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（2-x）在[0，1]上是減函數(shù)，∴[f(x)]max=f(0)=loga2=

1

2

，∴a=4．
當(dāng)x∈[-1，1]時，由f(x)＞

1

4

得

-1≤x＜0 log4(2+x)＞ 1 4

或

0≤x≤1 log4(2-x)＞ 1 4

得

2

-2＜x＜2-

2

．
∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f(x)＞

1

4

的解集為{x|2k+

2

-2＜x＜2k+2-

2

，k∈Z}．