若函數(shù)在x＝1處取極值，則a＝_________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(xué)(全國卷2) 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx2+(2－b)x+1

在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．

(1)證明a＞0；

(2)若z＝a+2b，求z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省2009屆高三上學(xué)期高考模擬(數(shù)學(xué)文) 題型：044

已知函數(shù)在x＝2處取得的極小值是．

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若x∈[－4，3]時，有f(x)≤m2＋m＋恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省岳陽市云溪區(qū)一中2012屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1處有極小值2．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)＝(x)－2x＋3在[0，2]只有一個零點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省順德容山中學(xué)2012屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1處有極小值2．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)＝(x)－2x＋3在[0，2]只有一個零點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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