Question

已知定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，使得成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.
下面我們來考慮兩個函數(shù)：，.
（Ⅰ）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（Ⅱ）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)， 求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在上的值域為，函數(shù)在不是有界函數(shù)；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）當時，函數(shù)，此時可設(shè)，由，那么，所以函數(shù)可轉(zhuǎn)化成，易知在上單調(diào)遞增，從而可求出值域為；故不存在常數(shù)，使成立,所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)
（Ⅱ）先求出在上的最大值與最小值，根據(jù)，再確定的大小關(guān)系，得出上界范圍；（Ⅲ）函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，則在上恒成立.將問題轉(zhuǎn)化成而求得.
試題解析：（Ⅰ）當時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為.
故不存在常數(shù)，使成立,所以函數(shù)在上不是有界函數(shù).
（Ⅱ），∵，  ∴在上遞減，
∴   即
∵，∴，∴，
∴ ，即
（Ⅲ）由題意知，在上恒成立.
，∴ 在上恒成立
∴
設(shè)，，， 由得，
設(shè)，, 所以在上遞減，在上的最大值為，
又，所以在上遞增，
在上的最小值為.
所以實數(shù)的取值范圍為.