已知數(shù)列滿足,且.試猜想的最小值,使得對(duì)恒成立,并給出證明.

解：當(dāng)n=1時(shí),,因?yàn)?img width=65 height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/27/16/2011072716430353433402.files/image129.gif' >,所以欲恒成立,

則要恒成立,解得,由此猜想的最小值為2………………………………4分

因?yàn)?img width=39 height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2011/07/27/16/2011072716430353433402.files/image307.gif' >,所以要證該猜想成立,只要證:當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立…………………5分

   現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明之:①當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.……………………………………………………6分

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak∈(0, 2),

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=－ak2+2ak= ak(2－ak)

一方面,ak+1=ak(2－ak­)>0成立………………………………………………………………………… 8分

另一方面,ak+1=ak(2－ak)=－(ak－1)2+1≤1<2,所以ak+1∈(0, 2)，即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.… 9分

由①、②可知,猜想成立,即的最小值為2……………………………………………………………10分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）已知數(shù)列滿足，且。

（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)為非零常數(shù)）。試確定的值，使得對(duì)任意都有成立。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（12分）已知數(shù)列滿足，且。

（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)為非零常數(shù)）。試確定的值，使得對(duì)任意都有成立。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：,,為公差為4等差數(shù)列.數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足   .

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

②試確定的值,使得數(shù)列是等差數(shù)列；

③設(shè)數(shù)列滿足：,若在與之間插

入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列. 

求證：……。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省、黃石二中高三上學(xué)期聯(lián)考考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列滿足且

（1）求；

（2）數(shù)列滿足，且時(shí)

．證明當(dāng)時(shí)， ；

（3）在（2）的條件下，試比較與4的大小關(guān)系．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江西省高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列滿足且

（1）求；

（2）數(shù)列滿足，且時(shí)．

證明當(dāng)時(shí)， ；

（3）在（2）的條件下，試比較與4的大小關(guān)系．

 

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