已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓G與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B、D兩點,且A點的坐標(biāo)為(-2,0),四邊形ABCD的面積為4.
(1)求橢圓G的方程;
(2)過x軸上一點M(1,0)作一條不垂直于y軸的直線l,交橢圓G于E、F點,是否存在直線l,使得△AEF的面積為數(shù)學(xué)公式,說明理由.

解:(1)∵A(-2,0),∴AC=4,
由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形,且其面積S==4,
∴BD=2,
∴橢圓G是焦點在x軸上的橢圓,且a=2,b=1,
∴橢圓G的方程為
(2)∵直線l不垂直于y軸,∴設(shè)直線l的方程為x=my+1,
,得(m2+4)y2+2my-3=0,
△=4m2+12(m2+4)>0,
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則,
x1+x2=m(y1+y2)+2=,
=
設(shè)△AEF的面積為S,則S=,
=
=9×
=9×,
,則t,
,故S≠
所以不存在直線l,使得△AEF的面積為
分析:(1)由A(-2,0),知AC=4,由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形,且其面積S==4,故BD=2,所以橢圓G是焦點在x軸上的橢圓,且且a=2,b=1,由此能求出橢圓G的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,由,得(m2+4)y2+2my-3=0,△=4m2+12(m2+4)>0,設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則,由此能推導(dǎo)出不存在直線l,使得△AEF的面積為
點評:本題考查橢圓方程的求法和判斷是否存在直線方程,使得三角形的面積為定值.綜合性強(qiáng),難度大,具有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維的要求較高,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,注意計算能力和解題能力的培養(yǎng).
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,使直線l與橢圓C有公共點,且原點到直線l的距離為4?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.

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2

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