解:(1)∵A(-2,0),∴AC=4,
由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形,且其面積S=
=4,
∴BD=2,
∴橢圓G是焦點在x軸上的橢圓,且a=2,b=1,
∴橢圓G的方程為
.
(2)∵直線l不垂直于y軸,∴設(shè)直線l的方程為x=my+1,
由
,得(m
2+4)y
2+2my-3=0,
△=4m
2+12(m
2+4)>0,
設(shè)E(x
1,y
1),F(xiàn)(x
2,y
2),則
,
,
x
1+x
2=m(y
1+y
2)+2=
,
=
,
設(shè)△AEF的面積為S,則S=
,
故
=
=9×
=9×
,
令
,則t
,
則
,故S≠
,
所以不存在直線l,使得△AEF的面積為
.
分析:(1)由A(-2,0),知AC=4,由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形,且其面積S=
=4,故BD=2,所以橢圓G是焦點在x軸上的橢圓,且且a=2,b=1,由此能求出橢圓G的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,由
,得(m
2+4)y
2+2my-3=0,△=4m
2+12(m
2+4)>0,設(shè)E(x
1,y
1),F(xiàn)(x
2,y
2),則
,
,由此能推導(dǎo)出不存在直線l,使得△AEF的面積為
.
點評:本題考查橢圓方程的求法和判斷是否存在直線方程,使得三角形的面積為定值.綜合性強(qiáng),難度大,具有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維的要求較高,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,注意計算能力和解題能力的培養(yǎng).