Question

已知函數(shù)f（x）=m（x+

1

x

）的圖象與函數(shù)h（x）=

1

4

（x+

1

x

）+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，h（1）=

5

2

，從而可得（1，

5

2

）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（-1，-

1

2

）在函數(shù)f（x）=m（x+

1

x

）的圖象上，從而求m；
（2）由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由h（1）=

5

2

得，（1，

5

2

）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（-1，-

1

2

）在函數(shù)f（x）=m（x+

1

x

）的圖象上，
故-

1

2

=-2m，
解得，m=

1

4

；
（2）g（x）=

1

4

（x+

1

x

）+

a

4x

=

x2+1+a

4x

=

x

4

+

1+a

4x

，
故1+a＞0，

1+a

≥2，
解得a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．