Question

用定義證明：已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）證明函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
（2）求函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義法即可證明函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＜0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間[2，6]上也是增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為f（2）=2+

1

2

=

5

2

，
函數(shù)的最大值為f（6）=6+

1

6

=

37

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．