Question

（1992•云南）已知三棱錐A-BCD的體積是V，棱BC的長(zhǎng)是a，面ABC和面DBC的面積分別是S₁和S₂．設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=

3aV

2S1S2

．

Answer 1

分析：作出三棱錐A-BCD，過頂點(diǎn)A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC內(nèi)作AE⊥BC，連結(jié)HE，從而得到二面角
A-BC-D的平面角，把三棱錐的高AH用體積和底面積表示，把斜高用△ABC的面積和邊BC的長(zhǎng)度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值．

解答：解：如圖，過頂點(diǎn)A向底面BCD作AH⊥平面BCD，
在平面ABC內(nèi)作AE⊥BC，連結(jié)HE，
根據(jù)三垂線定理可知，HE⊥BC，
所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角，則∠AEH=α，
由已知S_△BCD=S₂，三棱錐A-BCD的體積為V=

1

3

S2•AH，AH=

3V

S2

，
S△ABC=S1=

1

2

AE•BC，AE=2

S1

a

，
sinα=

AH

AE

=

3V S2

2S1 a

=

3aV

2S1S2

．
所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值為

3aV

2S1S2

．
故答案為

3aV

2S1S2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的平面角的求法，考查了錐體的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．