Question

已知函數(shù)，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對(duì)于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)n≥2，且n∈N^*時(shí)，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 先求出定義域，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)證明f（-x）=-f（x），故函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)．
（Ⅱ） ①當(dāng)a＞1時(shí)，有 對(duì)x∈[2，4]恒成立，即0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
在x∈[2，4]恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得（x+1）（x-1）（7-x）的最小值為15，得到 0＜m＜15．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得 （x+1）（x-1）（7-x） 的最大值
為45，故m＞45．
（Ⅲ） n=2 時(shí)，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2． n=3 時(shí)，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2．當(dāng)n≥4時(shí)，
a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＜2ⁿ-2．    n≥4時(shí)，由 2ⁿ-2=C_n+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1 得到證明．
解答：解：（Ⅰ）由，解得x＜-1或x＞1，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，
∴在定義域上是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由x∈[2，4]時(shí)，恒成立，
①當(dāng)a＞1時(shí)，∴對(duì)x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
則g（x）=-x³+7x²+x-7，，
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，g'（x）＞0，∴y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_min=g（2）=15，∴0＜m＜15．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由x∈[2，4]時(shí)，恒成立，
∴對(duì)x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
（Ⅲ）∵=，∴
當(dāng)n=2時(shí)，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2，
當(dāng)n=3時(shí)，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2，
當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ-2，下面證明：當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ-2．
證明：當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ-2=C_n+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)的恒成立問題，用放縮法證明不等式，用放縮法證明不等式是解題的
難點(diǎn)．